深夜番組は面白い。

　バイトから帰って飯食ってたら，フジテレビ「たけしのコマ大数学科」って番組やってて面白かったからメモ。別にそこまで面白くないけど。

　

　半径1の円A上に点P，半径1の円B上に点Qがある。点Qに関する点Pの対称点を点Rとする。
　点Pと点Qがそれぞれ自由に円周上を動く時，点Rの通過する領域の面積を求めよ。

　だいたいこんな感じの図。

　このブログを読む優秀な諸君なら、解答は一瞬だよね？？？？

　ここから先は答え。

　番組の先生が書いてた解を元に解説↓


▼Qを固定して，PをA上で動かすとRはどのように動くか

ざっくり：
　半径1の円が描かれます。

詳説：
　円Aの中心をA，Qに関してAと対称な点をO'とすると，

　PQ=QR，AQ=QO'，∠PQO'=∠QO'Rより△PQA≡△RQO'
　したがって，O'R=PA，∠QAP=∠OQ'R



　∴PがA上を動くとき，Rの軌跡はO'を中心とする半径1の円


▼Oを動かす時，O'はどのように動くか

ざっくり：
　半径1の円の中心が，半径2の円を描きます。

詳説：
　円Bの中心をB，Bに関してAと対称な点をOとする。

　AB=BO，AQ=BO'よりAB:AO=AQ:BO'=1:2。
　∠Aは共通なので，△ABQ∽△AOO'（相似比1:2）
　∴OO'=2BQ，∠ABQ=∠AOO'


　Oをを中心とする半径2の円をCとすると，O'は円C上を動く。

▼よって，
　RはOを中心とする半径3の円と半径1の円の間のドーナツ状の領域を動く。
　面積は，
　(3r)^2 * π - r^2 * π = 8πr^2
　r=1なので，面積は8π




　先にQを固定して考えるのがポイントですな。Pを先に固定するとドーナツを見抜けなさそう・・・。


　現役女子東大生チームが，ドーナツ状だと見抜けずに9πで不正解でした。



　オチはありません。
　久しぶりに数学の図形問題見たから面白かったよってだけ。

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