2010-09-14

深夜番組は面白い。

 バイトから帰って飯食ってたら,フジテレビ「たけしのコマ大数学科」って番組やってて面白かったからメモ。別にそこまで面白くないけど。

 

 半径1の円A上に点P,半径1の円B上に点Qがある。点Qに関する点Pの対称点を点Rとする。
 点Pと点Qがそれぞれ自由に円周上を動く時,点Rの通過する領域の面積を求めよ。

 だいたいこんな感じの図。

 このブログを読む優秀な諸君なら、解答は一瞬だよね????

 ここから先は答え。






 番組の先生が書いてた解を元に解説↓


Qを固定して,PをA上で動かすとRはどのように動くか

ざっくり:
 半径1の円が描かれます。

詳説:
 円Aの中心をA,Qに関してAと対称な点をO'とすると,

 PQ=QR,AQ=QO',∠PQO'=∠QO'Rより△PQA≡△RQO'
 したがって,O'R=PA,∠QAP=∠OQ'R



 ∴PがA上を動くとき,Rの軌跡はO'を中心とする半径1の円


▼Oを動かす時,O'はどのように動くか

ざっくり:
 半径1の円の中心が,半径2の円を描きます。

詳説:
 円Bの中心をB,Bに関してAと対称な点をOとする。

 AB=BO,AQ=BO'よりAB:AO=AQ:BO'=1:2。
 ∠Aは共通なので,△ABQ∽△AOO'(相似比1:2)
 ∴OO'=2BQ,∠ABQ=∠AOO'


 Oをを中心とする半径2の円をCとすると,O'は円C上を動く。

▼よって,
 RはOを中心とする半径3の円と半径1の円の間のドーナツ状の領域を動く。
 面積は,
 (3r)^2 * π - r^2 * π = 8πr^2
 r=1なので,面積は8π




 先にQを固定して考えるのがポイントですな。Pを先に固定するとドーナツを見抜けなさそう・・・。


 現役女子東大生チームが,ドーナツ状だと見抜けずに9πで不正解でした。



 オチはありません。
 久しぶりに数学の図形問題見たから面白かったよってだけ。

0 件のコメント: